The Homology of the Real Complement of a k-parabolic Subspace Arrangement

The k-parabolic subspace arrangement, introduced by Barcelo, Severs and White, is a generalization of the well known k-equal arrangements of type-A and type-B. In this paper we use the discrete Morse theory of Forman to study the homology of the complements of k-parabolic subspace arrangements. In doing so, we recover some known results of Björner et al. and provide a combinatorial interpretation of the Betti numbers for any k-parabolic subspace arrangement. The paper provides results for any k-parabolic subspace arrangement, however we also include an extended example of our methods applied to the k-equal arrangements of type-A and type-B. In these cases, we obtain new formulas for the Betti numbers. Résumé. L’arrangement k-parabolique, introduit par Barcelo, Severs et White, est une généralisation des arrangements, k-éguax de type A et de type B. Dans cet article, nous utilisons la théorie de Morse discrète proposée par Forman pour étudier l’homologie des compléments d’arrangements k-paraboliques. Ce faisant, nous retrouvons les résultats connus de Bjorner et al. mais aussi nous fournissons une interprétation combinatoire des nombres de Betti pour des arrangements k-paraboliques. Ce papier fournit alors des résultats pour n’importe quel arrangement kparabolique, cependant nous y présentons un exemple étendu de nos méthodes appliquées aux arrangements k-éguax de type A et de type B. Pour ce cas, on obtient de nouvelles formules pour les nombres de Betti.